Скачки в поле упругих сил: машина Зимана.

Система [6] представляет собой плоский диск 3 с двумя пружинками (или резинками) и размещается на плоскости YOX (рис. 3). Диск может поворачиваться вокруг своей оси с центром в точке О1; концы пружинок 1, 2 размещены подвижным образом на периферии диска в точке а; второй конец пружинки 1 закреплен также подвижно на плоскости в точке F. Возмущение в систему вносит перемещение свободного конца пружинки 2 с координатами x, y.

Рис. 3

Машина Зимана была предложена ее автором в качестве модели в связи с исследованиями в области теоретической биологии, например, с анализом развития костных или мышечных тканей из одной и той же клеточной культуры. Известна ромбовидная область, определенная своими границами Bj , j = , где перемещение свободного конца c пружины 2 приводит к плавному изменению геометрии машины. Соответствующее пересечение границ области концом c вызывает скачок в состоянии системы. В частности, пересечение нижнего вертикального клюва y2 приводит к началу плавного вращения диска. В то же время приход в точку верхнего вертикального клюва y3 делает диск неподвижным при дальнейшем движении c вдоль оси Y. При пересечении концом c боковой границы, например в случае B4 (90° q 180° ), следует бросок диска из области q < 180° в область q > 180° .

Выделим в рамках закона сохранения и превращения энергии определенного вида бифуркационное множество Bj. Прежде определим особые точки на вертикальной оси yj , j = . Собственную энергию возмущения машины мы определяем как упругую энергию пружины 2, исключая из рассмотрения связь диска с плоскостью через посредство пружины 1. Мы сохраняем при этом все остальные физические и геометрические условия, ограничения, совокупность которых образует машину Зимана, и определяет в ней физические процессы. Очевидно, что этому отвечает случай нахождения точки a в крайнем нижнем положении q = 0 и перемещения конца c вдоль оси Y: х = 0. Для энергии мы можем записать в результате

где к2 — коэффициент упругости пружины 2; y = l2 — длина пружины при с = с(0, y); l02 — длина пружины 2 в спокойном состоянии. Первое основное состояние диска мы определяем как состояние его “жесткой” связи с плоскостью. Энергию этого состояния записываем в виде

где к1 — коэффициент упругости пружины 1; l* — длина пружины 1 при q = 0о ; l01 — длина пружины 1 в спокойном состоянии. Второе основное состояние определяем как состояние связи точки а с центром вращения диска о1. Энергию, характеризующую это состояние, мы определяем как абсолютную величину работы, затраченной на перемещение точки а из центра о1 как начала отсчета на периферию диска x = 0, y = 0 в поле упругой силы пружины 2:

,

где r — радиус диска. Третье основное состояние — состояние связи точки а с точкой x = 0, y = l** на плоскости. Соответствующую энергию Wo3 мы определяем как энергию собственно перехода точки а из положения x = 0, y = 0 в крайнее верхнее положение x = 0, y = l** в поле упругой силы пружины 1. Учитывая, что возникающие скачки вызывают смену связи диска с плоскостью, мы можем соответствующие энергетические пороговые соотношения записать в виде:

W*;

W*;

W*

откуда особые точки на вертикальной оси равны:

Для случая к1 = к2; l01 = l02; l* = 1,5l01; l** = 2,5l01, описанного в [9], имеем: y2 = 2l01, y3 = 3l01, что близко к значениям: y2 » 1,9l01, y3 » » 2, 96l01 , полученным в этой работе с помощью математической модели.

В то же время полученные нами решения, в отличие от представления [9], соответствуют общему случаю задания параметров к1,2; l*; l** . Преодоление y > y1 на вертикальной оси приводит к появлению чувствительности точки а к горизонтальным перемещениям конца с пружины 2. Преодоление точки x = 0, y = y2 приводит к началу вращения диска при малом отклонении конца с от вертикальной оси и его последующем движении вдоль этой оси: q = q (y) .

Окончательно границы Bj определяем, рассматривая движение конца с параллельно оси X: с = с (x — var, y — const). Собственную энергию возмущения определяем как энергию деформации x пружины 2, расположив эту пружину параллельно оси Х из точки а:

Перейти на страницу: 1 2

Дополнительные материалы

Программное обеспечение
На рис. 3. изображена блок-схема -программы, которая находится в ПЗУ. Все “свободное” время микропроцессор выводит на индикатор результат. При приходе на вход маскируемых прерываний сигнала от Датчика1, процессор прерывает вывод на индикатор и ...

Червячный редуктор
Редуктором называют механизм, состоящий из зубчатых или червячных передач, выполненный в виде отдельного агрегата и служащий для передачи мощности от двигателя к рабочей машине. Назначение редуктора – понижение угловой скорости и ...

Эффект Ребиндера в полимерах
Речь пойдет о явлении, очень часто наблюдающемся и хорошо изученном, - о разрушении твердых тел. В самом общем виде его можно представить как распад тела на две или более частей, когда внешняя механическая нагрузка достигает некоего критич ...

Разделы

Электромагнитный импульс как оружие

История вопроса и современное состояние знаний в области эми.

Лабораторные стенды в учебном процессе

Обзор и сравнительный анализ существующих стендов.

Аспекты технического знания

Технический объект и предмет технических наук.

Сварка металлов плавлением

Классификация электрической дуговой сварки.

Распределение примесей в кремнии

Описание процесса зонной плавки и ее математическая модель.



Наука сегодня и вчера - www.anytechnic.ru