Знакомые задачи из трактата Фибоначчи

Задача 4. Выбрать пять гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз массой от 1 до 30 целых весовых единиц. При взвешивании все гири разрешается класть только на одну чашку весов.

Ответ: надо взять гири с массами 1, 2, 4, 8 и 16 весовых единиц.

Комментарий. Затронутый в задаче вопрос равносилен вопросу о представлении натурального числа n ≤ 30 в виде суммы не более пяти различных натуральных чисел из набора m1, ., m5 , не превосходящих n:

n = a1 · m1 + a2 · m2 + a3 · m3 + a4 · m4 + a5 · m5 ,

где каждый из множителей a1, ., a5 равен 1 или 0 (гиря либо кладется на чашку весов, либо нет). Но тогда естественно перейти к двоичной системе счисления:

n = a5 · 24 + a4 · 23 + a3 · 22 + a2 · 21 + a1 · 20.

Таким образом, в набор должны входить гири, массы которых выражаются числами 1, 2, 4, 8 и 16.

Хотя данную задачу часто связывают с именем французского математика и поэта Баше де Мезириака*, она встречается еще у Фибоначчи. Вероятно, и тот не сам ее придумал. А настоящим автором этой до недавнего времени актуальной практической задачи мог быть какой-нибудь сметливый торговец, которому частенько приходилось взвешивать свой товар.

* Клод Гаспар Баше де Мезириак (1581 .1638) известен, в частности, как автор книг по занимательной математике. В одной из них и приведена задача об оптимальной системе гирь.

В «Liber abaci» содержался также более сложный вариант рассмотренной задачи. В нем разрешается класть гири на обе чашки весов, а значит, надо будет думать не только о выборе гирь, но и о том, куда и каком количестве их добавлять. Ясно, что в данном случае каждое из чисел ai может принимать три различных значения (гиря добавляется либо на свободную чашку весов, либо на чашку с грузом или вообще не используется) и приходится обращаться уже к троичной системе счисления. Решив задачу для n ≤ 40, Леонардо получил в ответе набор гирь массами 1, 3, 9 и 27 весовых единиц.

Оба варианта задачи интересны еще и тем, что найденные числа являются членами геометрических прогрессий со знаменателями q = 2 и q = 3 соответственно. А к системе из пяти гирь, упоминающейся в задаче 4, можно прийти, рассматривая неравенство

30 ≤ 1 + 2 + 22 + . + 2m–1, или 30 ≤ 2m – 1.

Его наименьшее натуральное решение m = 5.

Задача 5. Если первый человек получит от второго 7 денариев, то станет в пять раз богаче второго, а если второй человек получит от первого 5 денариев, то станет в семь раз богаче первого. Сколько денег у каждого?

Ответ: 7 2/17 и 9 14/17 денариев.

Комментарий. Обозначив буквами x и y количество денег, имеющихся у первого и у второго человека, получим систему

«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи. Система уравнений 1

из которой найдем x = 7 2/17 и y = 9 14/17. Такой способ решения напрашивается сам собой, поскольку в задаче говорится о двух неизвестных.

А вот Леонардо Пизанский в своих рассуждениях ограничился одной неизвестной, назвав ее по давно укоренившейся среди математиков традиции «вещью». Приняв имущество второго человека за вещь и семь денариев, т.е. за (x + 7), он выразил имущество первого как (5x – 7) и в дальнейшем пришел к линейному уравнению

x + 12 = 7 (5x – 12).

Попутно заметим, что в трактате Фибоначчи содержатся аналогичные задачи и с бóльшим числом людей.

Задача 6. 30 птиц стоят 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби по 2, а пара воробьев – по монете. Сколько птиц каждого вида?

Ответ: 3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.

Комментарий. Из-за большого количества неизвестных данную задачу вполне логично решать алгебраически. Если число куропаток, голубей и воробьев обозначить буквами x, y, z соответственно, то решение сведется к нахождению тройки натуральных чисел, удовлетворяющих системе уравнений

«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи. Система уравнений 2

Исключив z и выразив затем x через y, получим x = 6 – 3/5 y. Единственное возможное значение y равно 5, тогда x = 3, z = 22.

Интересно, что данную задачу автор «Liber abaci» рассматривал как задачу на сплав достоинства 1, который должен получиться из трех целочисленных количеств достоинством 3, 2 и 1/2. Эта же задача, но с чуть измененными числовыми данными (стоимость птиц разного вида выражается обратными числами: 1/3, 1/2 и 2) разбиралась еще в одном сочинении Леонардо.

Задача 7. Решить систему уравнений

«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи. Система уравнений 3

Ответ: (15 – 5√5; 5√5 – 5).

Комментарий. На самом деле данная система является симметричной и имеет ни одно, как указал Фибоначчи, а два решения; второе – (5√5 – 5; 15 – 5√5).

Но интересна задача не только этим. В «Liber abaci» приведены разные способы ее решения.

Перейти на страницу: 1 2 3

Дополнительные материалы

Атомная энергия за и против
Современная цивилизация немыслима без электрической энергии. Выработка и использование электричества увеличивается с каждым годом, но перед человечеством уже маячит призрак грядущего энергетического голода из-за истощения месторождений гор ...

Техника и будущее. О новой методологии прогноза развития техники
Зададимся вопросом: можно ли прогнозировать развитие техники? Если да, то какими способами? Мы полагаем, что ответ на первый вопрос должен быть положительным. Однако требуется сделать несколько существенных оговорок ... Кто мешает теб ...

Научное мышление и психологические установки
С чем связано широкое распространение в современном мире эволюционного мировоззрения? Многие скажут – "с тем, что это мировоззрение научно". Однако непредвзятое расследование показывает, что чем более развивается научный метод ...

Разделы

Электромагнитный импульс как оружие

История вопроса и современное состояние знаний в области эми.

Лабораторные стенды в учебном процессе

Обзор и сравнительный анализ существующих стендов.

Аспекты технического знания

Технический объект и предмет технических наук.

Сварка металлов плавлением

Классификация электрической дуговой сварки.

Распределение примесей в кремнии

Описание процесса зонной плавки и ее математическая модель.



Наука сегодня и вчера - www.anytechnic.ru